02. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

1.1 Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών

Θεωρία & Ορισμοί

  • Ορισμός: Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς \(\alpha\) και \(\beta\) (προσθετέοι), βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό \(\gamma\) (άθροισμα). Συμβολίζεται με το «\(+\)» και η διαδικασία αντιστοιχεί στην ένωση δύο ξένων συνόλων.

  • Εσωτερική Πράξη: Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι πάντα φυσικός αριθμός.

Ιδιότητες

  1. Αντιμεταθετική: Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των προσθετέων χωρίς να αλλάζει το άθροισμα (\(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)).

  2. Προσεταιριστική: Σε άθροισμα τριών αριθμών, μπορούμε να αντικαταστήσουμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να αλλάξουμε την ομαδοποίησή τους [\((\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)\)].

  3. Ουδέτερο Στοιχείο: Το μηδέν (\(0\)) δεν μεταβάλλει τον αριθμό στον οποίο προστίθεται (\(\alpha + 0 = \alpha\)).

Παραδείγματα

  1. \(13 + 5 = 18\).
  2. \(3 + 6 = 9\) και \(6 + 3 = 9\) (Επαλήθευση αντιμεταθετικής ιδιότητας).
  3. \((5 + 4) + 2 = 9 + 2 = 11\) και \(5 + (4 + 2) = 5 + 6 = 11\) (Επαλήθευση προσεταιριστικής ιδιότητας).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε το άθροισμα: \(3.582 + 7.591\).
  2. Βρείτε το \(x\) στην εξίσωση: \(x + 3 = 10\).
  3. Εκτελέστε την πράξη: \(122 + 332\).
  4. Υπολογίστε νοερά: \(64 + 21 + 24 + 19\).
  5. Συμπληρώστε το κενό: \(32 + ... = 32\).
  6. Βρείτε το άθροισμα των φυσικών αριθμών από το \(1\) έως το \(9\).
  7. Αν \(\alpha + \beta = 25\), υπολογίστε την τιμή: \(10 + \alpha + \beta + 5\).
  8. Προσθέστε τα μήκη: \(15 \text{m} + 28 \text{m} + 300 \text{cm}\).
  9. Εκτελέστε την πρόσθεση: \(1.497 + 2.689 + 601\).
  10. Λύστε την εξίσωση: \(7 + x = 15\).

1.2 Αφαίρεση Φυσικών Αριθμών

Θεωρία & Ορισμοί

  • Ορισμός: Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί \(M\) (μειωτέος) και \(A\) (αφαιρετέος), βρίσκουμε έναν αριθμό \(\Delta\) (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στον \(A\) δίνει τον \(M\) (\(M - A = \Delta\)).

  • Περιορισμός: Στους φυσικούς αριθμούς, η αφαίρεση είναι δυνατή μόνο αν ο αφαιρετέος είναι μικρότερος ή ίσος του μειωτέου (\(M \ge A\)).

  • Αντίστροφη Πράξη: Η αφαίρεση θεωρείται η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης.

Ιδιότητες

  1. Σχέση με Μηδέν: \(\alpha - 0 = \alpha\) και \(\alpha - \alpha = 0\).

  2. Θεμελιώδης Ιδιότητα: Η διαφορά δεν μεταβάλλεται αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στους δύο όρους της [\(\alpha - \beta = (\alpha + \gamma) - (\beta + \gamma)\)].

  3. Μη Αντιμεταθετική: Η αφαίρεση δεν είναι αντιμεταθετική πράξη στους φυσικούς αριθμούς.

Παραδείγματα

  1. \(16 - 7 = 9\), διότι \(9 + 7 = 16\).
  2. \(20 - 8 = 12\).
  3. \(30 - 18 = 12\).

Ασκήσεις

  1. Εκτελέστε την αφαίρεση: \(3.452 - 865\).
  2. Λύστε την εξίσωση: \(x - 30 = 50\).
  3. Βρείτε το \(x\): \(15 - x = 8\).
  4. Υπολογίστε τη διαφορά: \(13.005 - 9.678\).
  5. Ποιο είναι το αποτέλεσμα της πράξης \(635 - 536\);.
  6. Υπολογίστε νοερά: \(285 - 79\).
  7. Εκτελέστε την πράξη: \(829.310 - 497.583\).
  8. Λύστε την εξίσωση: \(x + 20 = 25\).
  9. Υπολογίστε το αποτέλεσμα: \(100 - (30 + 20)\).
  10. Βρείτε την τιμή της παράστασης: \((524 - 99) - 75\).

1.3 Πολλαπλασιασμός Φυσικών Αριθμών

Θεωρία & Ορισμοί

  • Ορισμός: Πολλαπλασιασμός είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς \(\alpha\) και \(\beta\) (παράγοντες), βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό \(\gamma\) (γινόμενο). Ορίζεται επίσης ως το άθροισμα \(a\) προσθετέων ίσων με \(\beta\).

  • Ορολογία: Ο πρώτος παράγοντας λέγεται πολλαπλασιαστής και ο δεύτερος πολλαπλασιαστέος.

Ιδιότητες

  1. Αντιμεταθετική: Το γινόμενο δεν αλλάζει αν αλλάξουμε τη σειρά των παραγόντων (\(\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha\)).

  2. Προσεταιριστική: Μπορούμε να ομαδοποιούμε τους παράγοντες με διαφορετικό τρόπο χωρίς να αλλάζει το αποτέλεσμα [\((\alpha \cdot \beta) \cdot \gamma = \alpha \cdot (\beta \cdot \gamma)\)].

  3. Ουδέτερο Στοιχείο: Η μονάδα (\(1\)) δεν μεταβάλλει τον αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάζεται (\(\alpha \cdot 1 = \alpha\)).

  4. Επιμεριστική Ιδιότητα (ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση): \(\alpha \cdot (\beta \pm \gamma) = \alpha \cdot \beta \pm \alpha \cdot \gamma\).

  5. Ιδιότητα του Μηδενός: Κάθε αριθμός επί μηδέν ισούται με μηδέν (\(\alpha \cdot 0 = 0\)).

Παραδείγματα

  1. \(7 \cdot 6 = 42\).
  2. \(35 \cdot 10 = 350\).
  3. \(89 \cdot 7 + 89 \cdot 3 = 89 \cdot (7 + 3) = 89 \cdot 10 = 890\) (Εφαρμογή επιμεριστικής).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε το γινόμενο: \(421 \cdot 100\).
  2. Εκτελέστε την πράξη: \(284 \cdot 99\) (χρησιμοποιώντας επιμεριστική).
  3. Βρείτε το γινόμενο των φυσικών αριθμών μεταξύ \(0\) και \(10\).
  4. Υπολογίστε νοερά: \(84 \cdot 21\) (ως \(84 \cdot 20 + 84 \cdot 1\)).
  5. Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό: \(5.879 \cdot 346\).
  6. Υπολογίστε την τιμή: \(23 \cdot 49 + 77 \cdot 49\).
  7. Βρείτε το αποτέλεσμα: \(3 \cdot 13\).
  8. Εκτελέστε την πράξη: \(4.375 \cdot 169\).
  9. Συμπληρώστε το κενό: \(23 \cdot ... = 0\).
  10. Υπολογίστε το γινόμενο: \(7.567 \cdot 694\).

1.4 Ασκήσεις

  1. Συμπλήρωση Κενών (Ιδιότητες Πράξεων)

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:

  • α. Η ιδιότητα \(x + y = y + x\) λέγεται ………………………………………………………………………..
  • β. Η ιδιότητα \(x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z\) λέγεται ……………………………………………………………….
  • γ. Ο αριθμός που αν τον πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό \(\alpha\) δίνει γινόμενο \(\alpha\) είναι το ……………
  • δ. Το αποτέλεσμα της διαίρεσης λέγεται …………………………………………………………………….
  • ε. Σε μια αφαίρεση ο Μειωτέος \((Μ)\), ο Αφαιρετέος \((Α)\), και η διαφορά \((Δ)\) συνδέονται με τη σχέση: …………………………………………………………………………………………..
  • στ. Η ιδιότητα \(\alpha \cdot \beta = \beta \cdot \alpha\) λέγεται ………………………………………………………………………..
  • ζ. Η ιδιότητα \((x + y) + z = x + (y + z)\) λέγεται ………………………………………………………………..
  • η. Η ιδιότητα \(\alpha \cdot (\beta - \gamma) = \alpha \cdot \beta - \alpha \cdot \gamma\) λέγεται ……………………………………………………….
  1. Πολλαπλασιασμοί με Δυνάμεις του 10

Συμπλήρωσε τα γινόμενα:

  • α. \(84 \cdot [\dots] = 8.400\)
  • β. \(125 \cdot [\dots] = 12.500\)
  • γ. \(630 \cdot [\dots] = 6.300.000\)
  1. Κρυπτογραφική Πρόσθεση & Αφαίρεση
  • α. Συμπλήρωσε τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να προκύψουν σωστά αποτελέσματα:

\[\begin{align} \phantom{-\\}\Box \ \ 4 \ \ 7 \\ - \ \ 6 \ \ \Box \ \ 5 \\ \hline 1 \ \ 2 \ \ 8 \ \ 2 \end{align}\]

  • β. Συμπλήρωσε τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να προκύψουν σωστά αποτελέσματα:

\[\begin{align} 5 \ \ \Box \ \ 3 \\ - \ \ \Box \ \ 4 \ \ 8 \\ \hline 2 \ \ 1 \ \ 5 \end{align}\]

  1. Προτεραιότητα Πράξεων

Αντιστοίχισε κάθε γραμμή της πρώτης στήλης με ένα από τα αποτελέσματα της δεύτερης στήλης:

Πράξη Αποτέλεσμα
\(2 + 3 \cdot 4 + 5\) \(11\)
\((2 + 3) \cdot (4 + 5)\) \(45\)
\(2 + 3 \cdot (4 + 5)\) \(19\)
\((2 + 3) \cdot 4 + 5\) \(29\)
\(25\)
  1. Υπολογισμοί και Επιλογή Σωστού

Τοποθέτησε ένα “X” στην αντίστοιχη θέση του σωστού αποτελέσματος:

  • α. \(245 + 55 =\) (300 / 310 / 290)
  • β. \(150 - 65 =\) (85 / 95 / 75)
  • γ. \(12 \cdot 5 + 10 =\) (70 / 180 / 60)
  • δ. \(40 : (10 - 2) =\) (2 / 5 / 8)
  1. Επιμεριστική Ιδιότητα

Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα:

  • α. \(4 \cdot 102\)
  • β. \(6 \cdot 98\)
  • γ. \(15 \cdot 11\)
  • δ. \(8 \cdot 1.005\)
  1. Εμβαδόν Σχήματος

Υπολόγισε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος , χωρίζοντάς το σε ορθογώνια και χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα.

  1. Προβλήματα Αγοράς

Αγοράσαμε τρεις συσκευές που κόστιζαν: \(420 \text{ €}\), \(180 \text{ €}\) και \(350 \text{ €}\).

  • α. Υπολόγισε πρόχειρα (με στρογγυλοποίηση) αν φτάνουν \(1.000 \text{ €}\) για να πληρώσουμε.
  • β. Βρες ακριβώς πόσα χρήματα θα πληρώσουμε.
  1. Διαχείριση Χρημάτων

Η Μαρία βγήκε για ψώνια έχοντας \(120 \text{ €}\). Αγόρασε ένα βιβλίο που κόστιζε \(18 \text{ €}\), μια τσάντα που κόστιζε \(45 \text{ €}\) και ένα ζευγάρι ακουστικά που κόστιζαν \(32 \text{ €}\). Της φτάνουν τα χρήματα για να τα αγοράσει όλα; Πόσα θα της περισσέψουν ή πόσα θα της λείπουν;

  1. Αποθήκη Προϊόντων

Σε μια αποθήκη υπήρχαν \(450\) κιλά πατάτες και \(320\) κιλά κρεμμύδια. Πουλήθηκαν \(215\) κιλά πατάτες και \(180\) κιλά κρεμμύδια. Πόσα κιλά λαχανικά έμειναν συνολικά στην αποθήκη;

  1. Ηλικίες

Ο Πέτρος γεννήθηκε το \(1995\). Η αδερφή του, η Άννα, είναι \(4\) χρόνια μεγαλύτερή του.

  • α. Πόσων χρονών είναι ο Πέτρος σήμερα (το \(2024\));
  • β. Πότε γεννήθηκε η Άννα;
  1. Χωρητικότητα Πάρκινγκ

Ένα πάρκινγκ έχει \(5\) ορόφους. Οι \(3\) πρώτοι όροφοι έχουν από \(40\) θέσεις ο καθένας και οι υπόλοιποι \(2\) όροφοι έχουν από \(35\) θέσεις ο καθένας. Αν μέσα στο πάρκινγκ βρίσκονται ήδη \(150\) αυτοκίνητα, πόσες κενές θέσεις υπάρχουν ακόμα;